Mit einem Rutsch durch die Mathematik

Die Zykloide, eine Kurve mit vielen Eigenschaften

Foto: Jürgen Daum

Prof: Angela Schwenk aus dem Studiengang Mathematik
Schulfach: Mathematik
Vortragszeit: 90 Min. mit PC-Simulation
Teilnehmerkreis: ab 11. Klasse
Vorkenntnisse der Teilnehmer: keine (vorteilhaft: Brechungsgesetz des Lichts, mathem. Pendel)
Benötigte Ausrüstung: Beamer (PC wird mitgebracht)

Terminvereinbarung

030 4504-2351
schwenk[at]beuth-hochschule.de


Inhalt

Rollender Kreis, Bahnkurve eines Randpunkts
Rollender Kreis, Bahnkurve eines Randpunkts
Wiederholte Anwendung des Brechungsgesetzes
Wiederholte Anwendung des Brechungsgesetzes
Zykloidenpendel von Huygens
Zykloidenpendel von Huygens
Grafiken: Angela Schwenk

Die Zykloide ist eine Kurve mit bemerkenswerten Eigenschaften und vielen Anwendungen. Bei den Untersuchungen werden viele Gebiete der Mathematik gestreift. Sie entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden - ohne zu gleiten - abrollt und dabei ein fester Punkt auf dem Rand des Kreises beobachtet wird. In dem Bild ist ein rollendes Rad mit Radius r dargestellt, das, um die Form einer Rutschbahn zu erhalten, unterhalb der Straße rollt.

Die Frage, wie eine optimale Rutschbahn geformt sein muss, auf der man möglichst schnell von einem Punkt zu einem anderen kommt, hatte Johann Bernoulli (1667-1748; 81) im Januar 1697 auf einem Flugblatt als "Denksportaufgabe" veröffentlicht. Er erhielt richtige Antworten von berühmten Zeitgenossen: von seinem Bruder Jacob Bernoulli, von Leibniz, Newton und dem Marquis de L'Hospital. Galileo Galilei hatte sich bereits vorher mit dem Problem beschäftigt. Er hielt allerdings einen Kreisbogen und nicht die Zykloide für die optimale Form. In dem Vortrag wird der Lösungsweg von Johann Bernoulli vorgestellt und gezeigt, wie man mit Hilfe des Brechungsgesetzes für Licht die Form der optimalen Rutschbahn erhalten kann.

Huygens (1629-1695) untersuchte die Zykloide im Rahmen seiner Arbeiten über Uhren. Genaue Uhren hatten damals für die Seefahrt eine besondere Bedeutung bei der Navigation. Huygens konstruierte ein Fadenpendel, dessen Schwingungsdauer auch für große Auslenkungen nur von der Fadenlänge l abhängt. Dazu  ließ Huygens das Pendel nicht frei schwingen, sondern schränkte den Bewegungsraum des Faden durch zykloidenförmige Begrenzungen ein. Die Bahn der Pendelmasse ist dann erstaunlicherweise ebenfalls ein Zykloidenbogen.